Halaman
203BAB V ~ TurunanTURUNANSetelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat:1. menghitung turunan fungsi sederhana dengan menggunakan definisi turunan,2. menentukan turunan fungsi aljabar,3. menggunakan aturan turunan untuk menghitung turunan fungsi aljabar,4. menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan rantai,5. menggunakan turunan untuk menghitung laju perubahan,6. menentukan persamaan garis singgung pada suatu kurva.VBABTujuan Pembelajaran
Matematika Kelas XI - IPS SMA204Sebuah perusahaan tekstil memperkirakan bahwa biayaproduksi (dalam jutaan rupiah) untuk kain tertentu adalah:23( ) 450 36 0,001Cxx xx=+−+Setelah melakukan survei, perusahaan menetapkan bahwauntuk x yard, harga jual kain tersebut adalah:() 60 0,01pxx=−juta rupiah untuk tiap yard. Pertanyaannya, berapakahtingkat produksi perusahaan tersebut untuk memperolehkeuntungan maksimum?Pemecahan dari masalah ini erat hubungannya dengankonsep turunan fungsi. Turunan adalah bahasan awalsebelum orang berbicara tentang kalkulus diferensial, yangmerupakan pembahasan lanjutan secara mendalam darilimit. Oleh karena itu, sebelum menyelesaikan masalah ini secara khusus, sebaiknya Andaharus sudah menguasai bab sebelumnya terutama fungsi dan limit fungsi.Dengan telah menguasai konsep-konsep ini, secara khusus permasalahan yang kita hadapidi atas dapat kita selesaikan.5.1 Turunan FungsiPada subbab 4.3 kita telah pelajari bahwa laju perubahan nilai fungsi ()yfx=terhadap peubah bebas x pada saat x = c, yang secara geometri ditafsirkan sebagaikemiringan garis singgung pada kurva ()yfx= di (,())Pcfcadalah:Laju perubahan sesaat 00()()lim lim xhyfchfcxhΔ→→Δ+−==ΔFaktanya, limit bentuk ini muncul secara meluas dalam bidang kimia, fisika, rekayasa,biologi, dan ekonomi. Mengingat begitu bermanfaatnya, kita beri nama dan notasi khususbentuk limit ini.Definisi 5.1Turunan fungsif di bilangan c, dinotasikan dengan'( )fc, didefinisikan: sebagai 0()()'( )limhfc h fcfch→+−= (5.1)jika limit ini ada. Notasi f(c) dibaca f aksen c.Gambar 5.1Perusahaan tekstilSumber: www.sifab.euPengantar
205BAB V ~ TurunanJika kita tuliskan x = c + h, maka h = x c dan 0h→ setara dengan xc→. Olehkarena itu, definisi di atas akan setara dengan:() ()'( ) limxcfx fcfcxc→−=− (5.2)jika limit ini ada. Derivatif adalah sebutan lain untuk turunan.Contoh 5.1.1Carilah turunan fungsi 2() 3 52fx x x=−+ di bilangan c.Penyelesaian:Dari Definisi 5.1, kita mempunyai:'( )fc 0()()limhfc h fch→+−=22 0[3()5()2][35 2]limhch chc ch→+−++− −+=222 0363552352]limhcchhch cch→++−−+−+−=2 0635limhch h hh→+−= 0lim6 3 5hch→=+−65c=−Jadi, turunan fungsi 2() 3 52fx x x=−+ di bilangan c adalah '( ) 6 5fc c=−.WDalam Definisi 5.1 kita memandang turunan suatu fungsi f di bilangan tetap c.Selanjutnya, jika kita biarkan bilangan c berubah-ubah menjadi peubah x, maka kitaperoleh: 0()()'( ) limhfx h fxfxh→+−=asalkan limit ini ada. Dalam hal ini kita dapat menganggap 'f sebagai fungsi baru, yangdisebut turunan dari f.Contoh 5.1.2Tentukan turunan dari:a.f (x) = 5x 2b.g(x) = 3x2 + 8c.() 1 , 0kx x x=≠Penyelesaian:a. Untuk f(x) = 5x 2,()()fx h fxh+−= (5( ) 2) (5 2)xhxh+−− −= 5 52 52xh xh++−− = 5hh = 5
Matematika Kelas XI - IPS SMA206Jadi,0()()'( ) limhfx h fxfxh→+−= = 0lim5h→= 5b. Untuk g(x) = 3x2 + 8,()()gx h gxh+− = 22[3( ) 8] [3 8] xhxh++− + = 263xh hh+ = 6x + 3hJadi,0()()'( ) limhgx h gxgxh→+−= = 0lim(6 3 )hxh→+ = 6xc. Untuk 1() , 0kxxx=≠,()()kx h kxh+− = 11xhxh−+ = ()()xxhhx x h−++= 1()xx h−+Jadi,0()()'( ) limhkx h kxkxh→+−= = 2011 lim()hxx h x→−−=+WContoh 5.1.3Untuk fungsi f(x) = 3x2 + 8, carilah turunan f di 2 dengan tiga cara:a. gantikan x dengan 2 dalam'( )fx,b. gunakan rumus (5.1),c. gunakan rumus (5.2).Penyelesaian:a. Dari Contoh 5.1.2 (b), diperoleh '( )6fx x=. Oleh karena itu,'(2) 12f=b. Dengan rumus (5.1),0(2 ) (2)'(2) limhfhffh→+−=220[3(2 ) 8] [2 8]limhhh→++−+== 0lim12 3 12hh→+=.c. Dengan rumus (5.2),222() (2)(3 8) (3 2 8) 3( 4)222fx fxxxxx−+−⋅+−==−−− = 3(x + 2)Jadi,2() (2)'(2) lim2xfx ffx→−=− = 2lim3( 2) 12xx→+=WPenggunaan notasi 'f untuk turunan fungsi f diperkenalkan oleh Josep LouisLagrange (1736 1813), seorang matematikawan Perancis. Notasi ini menekankan fungsi'f diturunkan dari fungsi f dan nilainya di x adalah'( )fx.
207BAB V ~ TurunanJika titik (x, y) terletak pada grafik fungsi f, yaitu x memenuhi persamaan y = f(x),maka notasi 'f dapat digantikan dengan 'y atau dydx. Notasi ini diperkenalkan pertamakali oleh matematikawan Jermanbernama Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 1716).Dua notasi lain untuk turunan suatu fungsi f adalah:[()]dfxdx dan [()]xDfxContoh 5.1.4Jika diketahui 23xyx−=+, tentukan dydx.Penyelesaian:Dalam hal ini, y = f(x) dengan 2()3xfxx−=+,22()()33xh xfx h fxxh xhh−−−−+−+++=(2 )(3 ) (3 )(2 )(3 )(3 )xh x xh xhxh x−− + − ++ −=++ +22(63 ) (62 )(3 )(3 )xxh hx xxh hxhxh x−−−− −−−+−=++ +5(3 )(3 )hhxh x−=++ +5(3 )(3 )xh x−=++ +Jadi,20()()55limlim (3 )(3 ) (3 )0hdyf x h f xdxhx h xxh→+−−−===++ ++→WContoh 5.1.5 (Pengayaan)Diketahui 13()fx x=.a. Tentukan '( )fx.b. Tunjukkan bahwa f tidak mempunyai turunan di x = 0.
Matematika Kelas XI - IPS SMA208Penyelesaian:a. Kita rasionalkan pembilangnya, untuk 0x≠,1133()()()fx h fxxh xhh+−+−=11 2 11233 3 33321123333[( ) ][( ) ( )][( ) ( )]xh x xh xh x xhx h x h x x+− +++ +=+++ +21123333()[( ) ( )]xh xhx h x h x x+−=+++ +211233331()()xh xh x x=+++ +Jadi,'( )fx = 2112203333311lim()() 3hxh xh x x x→=+++ +b. Dari definisi turunan di x = 0,113320003(0 ) (0)01'(0) limlimlimhhhfhfhfhhh→→→+−−=== tidak adaJadi, f tidak mempunyai turunan di x = 0.WContoh 5.1.6 (Pengayaan)Diketahui ()fx x=.a. Tunjukkan bahwa f tidak mempunyai turunan di x = 0.b. Gambarkan grafik f.Penyelesaian:a. Dengan rumus (5.2),00() (0)'(0) limlim0xxfx fxfxx→→−==−Tetapi untuk 0x>,00lim lim 1xxxxxx++→→==sedangkan untuk 0x<,00limlim1xxxxxx−→−→−==−Karena limit kanan tidak sama dengan limit kiri, maka kita simpulkan bahwa '(0)ftidak ada. Namun demikian, fungsi f kontinu di x = 0, karena 0lim ( ) 0 (0)xfx f→==.
209BAB V ~ Turunanb. Grafik y = f (x)Gambar 5.2 Grafik Fungsi yx=WSecara umum, jika fungsi mempunyai grafik di titik c bersifat patah (lancip), makadi titik tersebut f tidak mempunyai turunan. Lihat Gambar 5.2 di titik x = 0. Dari Contoh5.1.5 dan 5.1.6, dapat kita simpulkan bahwa tidak semua fungsi mempunyai turunan.W1. Tentukan '( )fc untuk setiap fungsi yang diberikan.a.2() 1 3fx x x=+ −c.() 23xfxx=−e.() 2 1fx x=+b.3() 3fx x x=+d.2() 4xfxx=−f.3() 2fxx=−2. Setiap limit menyatakan turunan suatu fungsi f di suatu bilangan c. Nyatakan f dan c untuksetiap kasus.a.011limhhh→+−c.811lim1xxx→−−e.22011()()limhxh xhh→−++b.30(2 ) 8limhhh→+−d.22312lim2xxx→−−f.051limxxx→−Latihan 5.1y54321-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x=yx
Matematika Kelas XI - IPS SMA2103. Carilah turunan dari setiap fungsi yang diberikan, dan nyatakan daerah asal fungsi dandaerah asal turunannya.a.() 58fx x=−d.1() 1xfxx−=+b.32()5fx x x x=−+e.34() 3xfxx−=−c.()fx x x=+f.() 1 3 fxx=+4. Tentukan dydx dari setiap persamaan yang diberikan.a.243 yxx=+c.27yx=−b.23yx=−d.11yx=−5.2 Teorema Turunan Fungsi AljabarDalam bagian sebelumnya kita telah bahas bersama bagaimana proses penurunan(diferensiasi) fungsi dengan definisi langsung. Akan tetapi proses ini terlalu panjang,berikut ini akan kita pelajari teorema-teorema yang memberi kemudahan kepada kitauntuk diferensiasi.Teorema 5.1Jika fungsi f(x) = k , dengan k adalah konstanta, maka '( )0fx= untuk semua x.Bukti:Langsung dari definisi,0()()'( ) lim hfx h fxfxh→+−=0limhkkh→−=0lim0 0h→==Jadi, turunan fungsi konstan adalah nol.WTeorema 5.2Jika n bilangan asli dan ()nfx x=, maka 1'( )nfx nx−= untuk semua x.
211BAB V ~ TurunanBukti:Disini kita perlu menguraikan 2()xh+ dengan menggunakan Teorema Binomial,0()()'( ) lim hfx h fxfxh→+−=0()lim nnhxh xh→+−=(1)12220(+)lim nnnnnn nhxnxh xh h xh−−−→+++−=K(1)12-120lim ()nnnn nhnxx h h−−−→=+++K1nnx−=karena semua suku, kecuali yang pertama, mempunyai faktor h dan akibatnyamendekati 0.WMeskipun tidak dibuktikan di sini, faktanya Teorema 5.2 masih berlaku apabila nbilangan rasional.Contoh 5.2.1Tentukan '( )fx jika:a. f (x) = x7c.21()fxx=e.() 2fx x=b.f (x) = 5x10d.64()fxx=f.32()fx x=Penyelesaian:Dengan Teorema 5.2,a.f (x) = x7d.664() 4fxxx−==71 6'( ) 7 7fx x x−==6177'( ) ( 6) 4 24 24fxxxx−−−=− ⋅=−=−b.f (x) = 5x10e.12() 2 2fx x x==10 19'( ) 10 5 50fx x x−=⋅ =111221'( ) 212fx x xx−−=⋅= =c.221()fxxx−==f.2323()fx x x==2133'( ) ( 2) 2 2fx xx x−−−=−=− =−21122333332'( )3fx x xx−−===
Matematika Kelas XI - IPS SMA212Teorema 5.3Misalkan u suatu fungsi, k konstanta, dan f fungsi yang didefinisikan olehf (x) = ku(x). Jika u mempunyai turunan, maka:'( )'( )fx kux=untuk semua x.Bukti:Dari Definisi 5.1,'( )fx= 0()() lim hfx h fxh→+−= 0()() lim hku x h ku xh→+−= 0 ( ) () lim hux h uxkh→+−= 0 ( ) () limhux h uxkh→+−= '( )ku xWSebagai contoh sederhana, jika f(x) = 8x5, maka:44'( ) 58 40fx x x=⋅ =Teorema 5.4Misalkan u dan v dua fungsi, dan f fungsi yang didefinisikan olehf(x) = u(x) + v(x). Jika u dan v mempunyai turunan, maka:'( )'( )'( )fx ux vx=+untuk semua x.Bukti:'( )fx = 0()() lim hfx h fxh→+− = 0[( ) ( )][() ()]limhux h vx h ux vxh→++ + − + = 0[( )()] [( )()] limhux h ux vx h vxh→+− + +− = 0 ( ) () limhux h uxh→+− + 0 ( ) () limhvx h vxh→+− = '( ) '( )ux vx+W
213BAB V ~ TurunanHasil teorema itu dapat diperluas ke sejumlah berhingga fungsi. Khususnya, jikafungsi itu adalah sukubanyak, maka kita tinggal menurunkan masing-masing sukunya.Contoh 5.2.2Tentukan '( )fx, jika f(x) = 7x5 3x4 8x2 + 5.Penyelesaian:Sebagai akibat dari Teorema 5.4,'( )fx = 7 · 5x4 3 · 4x3 8 · 2x + 0 = 35x4 12x3 16xWContoh 5.2.3Tentukan '( )fx, jika:a.f(x) = (x2 2)2f (x) = x2 + 3x + 21xPenyelesaian:a.f(x) = (x2 2)2 = x4 4x2 + 4, sehingga:'( )fx = 4x3 4 · 2x + 0 = 4x3 8xb. Fungsi dapat dituliskan dengan f(x) = x2 + 3x + x2, maka:'( )fx = 2x + 3 + ( 2)x3 = 2x + 3 32xWContoh 5.2.4Tentukan '(2)f, jika f(x) = 33x+ 33x.Penyelesaian:Kita tuliskan f(x) = 33x + 33x−, sehingga:'( )fx= −⋅+−⋅12433(3)3xx = 249xx−− = 249xx−Jadi, 249955'(2) 2 421616f=− =− =.WTeorema 5.5Misalkan u dan v dua fungsi, dan f fungsi yang didefinisikan oleh f (x) = u(x)·v(x).Jika u dan v mempunyai turunan, maka:'() '()() ()'()fx uxvx uxvx=+untuk semua x.
Matematika Kelas XI - IPS SMA214Bukti:Karena v mempunyai turunan di x, maka berakibat:0lim ( ) ( )hvx h vx→+=Akibatnya,'( )fx= 0()() lim hfx h fxh→+−= 0()()()() lim hux hvx h uxvxh→++−= 0()()()()()()()() limhux hvx h uxvx h uxvx h uxvxh→++− ++ +−= 0()() ()() lim ( ) ( )hux h uxvx h vxvx h uxhh→+−+−⎛⎞⋅++ ⋅⎜⎟⎝⎠= '( ) ( ) ( ) '( )uxvx uxvx+WContoh 5.2.5Tentukan '( )fx, jika f(x) = (2x3 4x2)(x5 + 3x2).Penyelesaian:Dalam hal ini, f(x) = u(x)v(x), dengan u(x) = (2x3 4x2) dan v(x) = x5 + 3x2u(x) = (2x3 4x2) →2'( )68uxxx=−v(x) = x5 + 3x2 →4'( )56vxxx=+Jadi,'() '()() ()'()fx uxvx uxvx=+ = (268xx−)(x5 + 3x2) + (2x3 4x2)(456xx+) = (6x7 8x6 + 18x4 24x3) + (10x7 20x6 +12x4 24x3) = 16x7 28x6 +30x4 48x3WContoh 5.2.6Tentukan 'y, jika y = (x4 x2)(2x + 3).Penyelesaian:y = (x4 x2)(2x + 3) ⇒u = x4 x2→3'4 2uxx=−v = 2x + 3 →'v = 2
215BAB V ~ TurunanJadi, 'y=''+uv uv=(4x3 2x)( 2x + 3) + (x4 x2)(2)=(8x4 4x2 + 12x3 6x) + (2x4 2x2)=10x4 + 12x3 6x2 6xWTeorema 5.6Misalkan u dan v dua fungsi, dan f fungsi yang didefinisikan oleh()()()uxfxvx=,() 0vx≠. Jika u dan v mempunyai turunan, maka:2'( ) ( ) ( ) '( )'( )()uxvx uxvxfxvx−=untuk semua x.Bukti:Karena v mempunyai turunan di x dan () 0vx≠, maka berlaku:011lim ()()hvx h vx→=+Dari definisi turunan di x,'( )fx=0()() lim hfx h fxh→+−=0()()()()lim hux h uxvx h vxh→+−+=0( )() ()( )lim ()()hux hvx uxvx hhv x h v x→+− ++=0( )() ()() ()() ()( ) lim ()()huxhvxuxvxuxvxuxvxhhv x h v x→+− + − ++=0()() () () ()() lim( )() ( )()hux h ux vxux vx h vxhvx hvx vx hvxh→⎛⎞+−+−⋅−⋅⎜⎟++⎝⎠=22() ()'( )'( )() ()vx uxuxvxvx vx−=2'( ) ( ) ( ) '( )()uxvx uxvxvx−W
Matematika Kelas XI - IPS SMA216Contoh 5.2.7Tentukan '( )fx untuk 221()5xfxx+=+.Penyelesaian:221()5xfxx+=+⇒u(x) = 2x2 + 1 →'( )4uxx= v(x) = x + 5 →'( ) 1vx=Jadi,'( )fx =2'( ) ( ) ( ) '( )()uxvx uxvxvx−=22(4 )( 5) (2 1)(1)(5)xxxx+− ++=222201(5)xxx+−+WContoh 5.2.8Tentukan 'y untuk 22256+ 4xxyx+−=.Penyelesaian:22256+ 4xxyx+−=⇒22256 '45ux xu x=+−→=+24 ' 2vxv x=+→=2'''uv uvyv−== 2222(4 5)( 4) (2 5 6)(2 )(4)xx xx xx++−+−+= 3222224 516 20 4 10 12(4)xx x xx xx+++−++= 222 528 20(4)xxx−+ ++WSelanjutnya, jika kita mempunyai fungsi:23() ( 51)fx x=+maka kita dapat memperoleh '( )fx dengan menerapkan Teorema 5.5 dua kali, yaitudengan menuliskan lebih dulu 222( ) ( 51) ( 51)fx xx=+ +.
217BAB V ~ TurunanPerhitungannya sebagai berikut.'( )fx22 2 22 2( 51) ( 51) ( 51) [( 51)( 51)]xxxDx xDxx=+⋅ +++⋅ + +222 22( 51) (10 ) ( 51)[( 51)(10 ) ( 51)(10 )]xxxxxxx=+ ++ + ++222 2( 51) (10 ) ( 51)[2( 51)(10 )]xxxxx=+ +++2222( 51) (10 ) 2[( 51) (10 )]xxxx=+ + +Jadi,22'( ) 3( 51) (10 )fx xx=+ (5.3)Dari ilustrasi di atas, jika kita ambil 3()ux x= dan 2() 51vx x=+, maka f adalahfungsi komposisi uvo, sehingga:()fx(())uvx=2( 51)ux=+23( 51)x=+Karena 2'( ) 3ux x= dan '( ) 10vxx=, kita dapat menuliskan (5.3) dalam bentuk:'( ) '( ( )) '( )fx uvxvx=Secara umum, hasil ini benar untuk sembarang komposisi dua fungsi yangmempunyai turunan. Aturan diferensiasi seperti ini sering kita kenal dengan aturanrantai.Teorema 5.7 (Aturan Rantai)Jika fungsi v mempunyai turunan di x dan u mempunyai turunan di v(x),maka fungsi komposisi uvo mempunyai turunan di x, dan( )'( ) '( ( )) '( )uv x uvxvx=ountuk semua x.Contoh 5.2.9Tentukan '( )fx apabila5() (2 1)fx x=+.Penyelesaian:Fungsi f dapat kita anggap sebagai komposisi fungsi dari u dan v,5() (2 1)fx x=+ = ()()(())uvx uvx=odengan u(x) = x5 dan () (2 1)vx x=+. Dengan aturan rantai,'( )fx= ( )'( ) '( ( )) '( )uv x uvxvx=o= 54(2 1)x+· (2x)= 10x4(2 1)x+W
Matematika Kelas XI - IPS SMA218Contoh 5.2.10Tentukan 32131dxdx x⎡⎤+⎛⎞⎢⎥⎜⎟−⎝⎠⎣⎦.Penyelesaian:Dari aturan rantai,32131dxdx x⎡⎤+⎛⎞⎢⎥⎜⎟−⎝⎠⎣⎦=221 21331 31xdxxdxx++⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠=2221(2)(31)(21)(3)331 (31)xxxxx+−−+⎛⎞⎜⎟−−⎝⎠=243(2 1) ( 5)(3 1)xx+−−=2415(2 1)(3 1)xx+−−W1. Carilah 'h dalam bentuk 'f dan 'g dari () ()()()()fxgxhxfx gx=+ dan2()( (3 ))hxf g x=.2. Carilah konstanta a, b, dan c sehingga fungsi 2yax bxc=++ memenuhi persamaandiferensial 2"'2yy yx+− =.Turunan Tingkat TinggiJika 'f adalah turunan fungsi f, maka 'f juga merupakan fungsi. Fungsi 'f adalahturunan pertama dari f. Jika turunan dari 'f ada, turunan ini disebut turunan keduadari f, dinotasikan dengan "f atau "y atau 2dfdx atau 22dydx. Dengan cara yang sama,turunan ketiga dari f didefinisikan sebagai turunan pertama dari "f, dan dinotasikandengan "'f atau "'y atau 33dfdx atau 33dydx.Tugas Mandiri
219BAB V ~ TurunanSecara umum, turunan ke-n dari fungsi f, ditulis ()nf, adalah turunan pertama dariturunan ke-(n 1) dari f, dengan n bilangan asli yang lebih besar dari 1. Simbol lainuntuk turunan ke-n dari f adalah:[()]nndfxdx dan [()]nxDfxContoh 5.2.11Tentukan semua turunan dari fungsi f yang diberikan oleh:f (x) = 5x4 + 4x3 x2 + 9Penyelesaian:'( )fx=20x3 + 12x2 2x"( )fx=60x2 + 24x 2'"( )fx= 120x + 24(4)()fx= 120()()nfx=0, 5n≥Misalkan ()() ()Fx f xgx=, dengan f dang g fungsi yang mempunyai turunan.a. Perlihatkan bahwa "''2''"Ffgfgfg=+ +.b. Carilah rumus untuk "'F dan (4)F.c. Kemudian tebak rumus untuk ()nF.1. Tentukan '( )fx untuk setiap fungsi yang diberikan.a. f(x)= 4x4 + 4x2 + 1f.f(x) = (3x2 + 4)2b. f(x) = 1 2x x3g.f(x) = (2x2 + 3)(5x 8)c.f(x)= x7 4x5 + 2x3 + 7xh.f(x) = (5x4 3)(2x3 + 6x)d.f(x)= x2 + 3x + 21xi.f(x) = (x3 2x +3)(3x2 + 2x)e. f(x)= x4 7 + x 2 + x 4j.f(x) = 329xTugas KelompokLatihan 5.2
Matematika Kelas XI - IPS SMA220k.f(x) = 25xx+n.2221()21xxfxxx−+=++l.2133() 3fx x x−=−o.338()8xfxx+=−m.2()4xfxx=+2. Tentukan dydx untuk setiap fungsi y yang diberikan.a.y = (x2 + 3x +2)(2x3 1) d.2432xxyx−−=−g.2222xayxa−=+b.2xyx=−e.2215xyx=+h.21(3 1)34xyxx+=−+c.2134xyx+=+f.424251xxxyx−++=i.3231(1)3xyxx+=++3. Tentukan turunan untuk setiap fungsi yang diberikan.a.f(x) = (2x + 1)5e.G(x) = (x3 3x2 + 1)3i.132() ( 52 )hxx−=−b.g(x) = (x2 + 4x 5)4f.2() 1 4Hxx=+j.25()31sFss−=+c.h(t) = (2t4 7t3 + 2t 1)2g.2() 1 3ftt=−k.56()54xGxx+=−d.F(z) = (z2 + 4) 2 28h.23() ( 53)gxx=−l.1()1xHxx−=+4. Tentukan turunan untuk setiap fungsi yang diberikan.a.2234[(4 7) (2 1) ]dxxdx++d.322( 53)dzzdz−⋅ +b.23 2[(3 5) (3 1) ]duudu+−e.272dtdt t⎡⎤−⎛⎞⎢⎥⎜⎟+⎝⎠⎣⎦c.21dxdx x⎛⎞−⎜⎟⎜⎟⎝⎠f.2232131yddy y⎡⎤⎛⎞+⎢⎥⎜⎟+⎢⎥⎝⎠⎣⎦5. Tentukan turunan untuk setiap fungsi yang diberikan.a.3221()32xfxxx−⎛⎞=⎜⎟+−⎝⎠b.232(3)()( 58)xgxx+=− c.246()34xhxxx+=++
221BAB V ~ Turunan6. Tentukan turunan pertama dan kedua dari setiap fungsi yang diberikan.a. f (x) = x5 +2x3 xd.33() 2 5Fy y=+b.g(t) = t3 t2 + te.2()2zGzz−=+c.2() 1hx x=+5.3 Turunan Sebagai Laju PerubahanPada subbab 4.2 telah kita kaji bersama bahwa jika y = f(x) adalah suatu besaran yangbergantung pada besaran lain x, maka:0()()lim hfc h fch→+−mendefinisikan besarnya laju perubahan sesaat y terhadap x saat x = c. Tetapi limit initidak lain adalah nilai turunan fungsi f di titik c, yaitu '( )fc. Dengan demikian, kitadapat menyimpulkan bahwa:'( )fc menyatakan laju perubahan sesaat dari y = f(x) di x = c. (5.4)Contoh 5.3.1Pendapatan kotor tahunan suatu perusahaan selama 1 tahun terhitung mulai 1 Januari2000 adalah p miliar rupiah, dan 222105pt t=++.Tentukan:a. laju pertumbuhan pendapatan kotor pada tanggal 1 Januari 2002,b. laju pertumbuhan pendapatan kotor pada tanggal 1 Januari 2006.Penyelesaian:Menurut (5.4), laju pertumbuhan pendapatan setelah ttahun adalah dp dt.a. Pada tanggal 1 Januari 2002, berarti t = 2. Jadi, kita menghitung dp dt apabila t = 2,dpdt = 45t + 2 dan 2825tdpdt=⎤=+⎥⎦ = 3,6Jadi, pada tanggal 1 Januari 2002, pendapatan kotor perusahaan tumbuh denganlaju 3,6 miliar rupiah tiap tahun.b. Pada tanggal 1 Januari 2006, berarti t = 6 sehingga:62425tdpdt=⎤=+⎥⎦ = 6,8Jadi, pada 1 Januari 2006, pendapatan kotor perusahaan tumbuh dengan laju 6,8miliar rupiah tiap tahun.W
Matematika Kelas XI - IPS SMA222Setelah kita memahami apa tafsiran fisis dari turunan di suatu bilangan, maka kitadapat menyelesaikan permasalahan perusahaan tekstil yang diungkapkan pada awalbab, yang disajikan menjadi contoh berikut.Contoh 5.3.2Sebuah perusahaan tekstil memperkirakan bahwa biaya produksi (dalam jutaan rupiah)untuk kain tertentu adalah:23() 450 360,001Cxx xx=+−+Setelah melakukan survei, perusahaan menetapkan bahwa untuk x yard, harga jual kaintersebut adalah:( )60 0, 01pxx=−juta rupiah untuk tiap yard. Berapakah tingkat produksi perusahaan tersebut untukmemperoleh keuntungan maksimum?Penyelesaian:Dari keterangan di atas, kita memperoleh fungsi pendapatan adalah:2() () 60 0,01Rx xpx x x==−dan fungsi keuntungannya adalah:22323() () () [60 0,01 ][450 36 0,001 ] 450 24 0,99 0,001 .Px Rx Cx x xx xxxx x=−=− −+−+=− + +−Menurut rumus (5.4), besar laju perubahan keuntungan terhadap banyak yard x adalah'( )Px. Kita peroleh bahwa:2'( ) 24 1,98 0,003Pxx x=+ −Jadi, besar laju perubahan keuntungan terhadap x adalah 224 1,98 0,003xx+−.Persamaan ini adalah persamaan kuadrat dalam x, sehingga akan mencapaimaksimum ketika1,983302 2( 0,003)bxa=− =−=−Untuk x = 330 akan memberikan keuntungan sebesar(330)P = 23450 24(330) 0,99(330) 0,001(330)−++− =72.216Jadi, pada tingkat produksi x = 330 yard akan memberikan keuntungan yang maksimumkepada perusahaan sebesar 72.216 juta rupiah.Dalam ekonomi, jika C(x) menyatakan biaya total yang dikeluarkan perusahaan untukmenghasilkan x satuan barang tertentu, maka C disebut fungsi biaya. Laju perubahansesaat biaya terhadap banyaknya barang yang dihasilkan, dC dx, oleh para ekonomdisebut biaya marginal.WContoh 5.3.3Suatu perusahaan telah menaksir bahwa biaya (dalam ribuan rupiah) memproduksi xbarang adalah:2( ) 10.000 50,01Cxx x=++
223BAB V ~ Turunana. Tentukan fungsi biaya marginal.b. Carilah '(500)C dan jelaskan maknanya. Apa yang diperkirakannya?c. Bandingkan '(500)C dengan biaya memproduksi barang ke-501.Penyelesaian:a. Fungsi biaya marginal adalah:'( ) 50,02dCCxxdx==+b. Biaya marginal pada tingkat produksi sebanyak 500 barang adalah:'(500) 5 0,02(500) 15C=+=ribu/barang.Ini memberikan laju pada saat biaya bertambah besar terhadap tingkat produksipada waktu x = 500, dan memperkirakan biaya produksi barang ke-501.c. Biaya memproduksi sebenarnya dari barang ke-501adalah:C(501) C(500) = 22[10.000 5(501) 0,01(501) ] [10.000 5(500) 0,01(500) ]++− ++ =15,01ribuTampak bahwa '(500) (501) (500)CCC≈−.W1. Suatu perusahaan mulai beroperasi pada 1 Oktober 2003. Pendapatan kotor tahunanperusahaan itu setelah beroperasi t tahun adalah p juta, dengan:p = 50.000 + 18.000t + 600t2a. Tentukan laju pertumbuhan pendapatan kotor pada 1 Oktober 2005.b. Tentukan laju pertumbuhan pendapatan kotor pada 1 Oktober 2003.2. Misalkan jumlah penduduk pada suatu kota setelah t tahun sejak 1 Januari 2000 sebesar p = 40t2 + 200t + 10.000Tentukan laju pertumbuhan penduduk pada 1 Januari 2010.3. Seorang pekerja pembuat kartun iklan ditaksir dapat mengecat y buah iklan setelah bekerjax jam sejak jam 8 pagi, dengan:y = 3x 8x2 x3 , 04x≤≤a. Tentukan laju pengecatan pekerja itu pada jam 10 pagi.b. Tentukan jumlah bingkai yang dicat antara jam 10 pagi hingga jam 11 pagi.4. Biaya (dalam ribuan rupiah) suatu perusahaan memproduksi x pasang sepatu adalah:23( ) 2000 3 0,01 0,0002Cxx xx=++ +a. Carilah fungsi biaya marginal.b. Carilah '(100)C dan jelaskan maknanya. Apa yang diperkirakannya?c. Bandingkan '(100)C dengan biaya memproduksi barang ke-101.Latihan 5.3
Matematika Kelas XI - IPS SMA2245. Fungsi biaya untuk suatu barang tertentu adalah:23( ) 2000 3 0,01 0,0002Cxx xx=++ +a. Carilah dan tafsirkan '(100)C.b. Bandingkan '(100)C dengan biaya memproduksi barang ke-101.6. Sebuah perusahaan tekstil memperkirakan bahwa biaya produksi (dalam jutaan rupiah)untuk kain tertentu adalah:23( ) 1200 120,10, 0005Cxxxx=+− +Setelah melakukan survei, perusahaan menetapkan bahwa untuk x yard, harga jual kaintersebut adalah ( ) 29 0,00021pxx=−juta rupiah untuk tiap yard. Berapakah tingkatproduksi perusahaan tersebut untuk memperoleh keuntungan maksimum?5.4 Persamaan Garis Singgung KurvaPada subbab sebelumnya telah dijelaskan bahwa jika y = f (x), maka:0()()lim hfc h fch→+−mendefinisikan besarnya laju perubahan sesaat y terhadap x saat x = c. Secara geometriseperti diperlihatkan pada Gambar 5.3, laju perubahan sesaat ditafsirkan sebagaikemiringan atau gradien garis singgung kurva y = f(x) di titik (,())Pcfc, yang besarnyaadalah:sg0()()lim hfc h fcmh→+−=Gambar 5.3 Kemiringan Garis Singgung di P = '( )fcMenurut Definisi 5.1, ini sama seperti turunan '( )fc. Oleh karena itu, kita dapatmengatakan pengertian berikut ini.Garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (, ())cfc adalah garis yangmelalui (, ())cfcdengan kemiringannya sama dengan'( )fc.0 c c + h xyP(c, f(c))Q(c + h, f(c + h))hf(c + h) - f(c)
225BAB V ~ TurunanJika kita menggunakan bentuk titik-kemiringan dari persamaan garis, maka garissinggung pada kurva di titik (, ())cfcadalah:y f(c) = '( )fc(x c)Contoh 5.4.1Diketahui suatu kurva yang mempunyai persamaan y = x3 3x + 4.a. Periksalah apakah titik (2, 6) terletak pada kurva.b. Jika titik tersebut terletak pada kurva, tentukan persamaan garis singgung di titiktersebut.c. Gambarkan kurva y tersebut beserta garis singgung di titik (2, 6).Penyelesaian:a. Titik (2, 6) terletak pada kurva y = x3 3x + 4 karena jika kita substitusikan x = 2 ,maka dipenuhi: y = 23 3(2) + 4 = 6b. Turunan fungsi f(x) = x3 3x + 4 adalah '( )fx = 3x2 3. Kemiringan garis singgung di(2, 6) adalah 2'(2) 3 2 3 9f=⋅ −=. Jadi, persamaan garis singgung kurva di titik (2, 6)adalah:y 6 = 9(x 2) atau y = 9x 12c. Grafik kurva dan garis singgungnya adalah:Gambar 5.4WContoh 5.4.2Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 2x2 1 di titik yang absisnya 2.Penyelesaian:Misalnya titik yang dimaksud adalah A, maka xA = 2, dan ordinat dari titik A adalah ysehingga:y = 2 · 22 1 = 7y-2 -1 1 2 3x12 8 4 -8 -4
Matematika Kelas XI - IPS SMA226Oleh karena itu, koordinat titik A adalah (2, 7). Turunan fungsi f(x) = 2x2 1 adalah'( ) 4fx x=. Dengan demikian, kemiringan garis singgung di (2, 7) adalah '( 2)4 28f=⋅=.Jadi, persamaan garis singgung di A(2, 7) adalah:y 7 = 8(x 2) atau y = 8x 9WContoh 5.4.3Tentukan persamaan garis singgung dengan kemiringan 6 pada kurva y = 2x3.Penyelesaian:Misalkan kemiringan garis singgung adalah m. Karena kemiringan garis singgung di xpada kurva adalah nilai turunan di bilangan tersebut, maka berlaku:'( )myx=Karena diketahui m = 6, maka berlaku:6 = 6 x2 ⇔x2 = 1⇔ x = 1 atau x = 1Untuk x = 1 dan x = 1, masing-masing memberikan y = 2 · 13 = 2 dan y = 2(1)3 = 2.Dengan demikian, koordinat titik singgung pada kurva adalah (1, 2) dan (1, 2).Garis singgung di titik (1, 2) adalah:y 2 = 6(x 1) atau y = 6x 4Garis singgung di titik (1, 2) adalah:y + 2 = 6(x + 1) atau y = 6x + 4WContoh 5.4.4Carilah persamaan garis singgung pada kurva 3yx=− yang tegak lurus garis6x + 3y 4 = 0.Penyelesaian:Jika (x, y) titik singgung pada kurva, maka kemiringan garis singgung di titik itu adalah:m1 = 1'23yx=−Garis 6x + 3y 4 = 0 dapat dituliskan dengan y = 2x + 43, sehingga kemiringan garis iniadalah 22m=−. Dua garis saling tegak lurus, jika:m1m2 = 1 ⇔m1 (2) = 1⇔112m=Oleh karena itu,m1 = 1'23yx=−⇔12= 123x−⇔113x=−⇔x 3 = 1⇔x = 4
227BAB V ~ TurunanSubstitusi untuk x = 4, memberikan 431y=−=. Jadi, koordinat titik singgung adalah(4, 1), dan persamaan garis singgungnya adalah:y 1 = 12 (x 4) atau y = 12x 1W 1. Carilah persamaan garis singgung kurva yang diberikan oleh persamaan berikut di titikyang ditentukan.a.y = 2x2 1 di (4, 31)c.21014yx=− di (4, 5)b. y = 2x4 x2 di ()12, 18−−d.284yx=+ di (2, 1) 2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva:a.y = x2 5x + 1, di titik yang absisnya 1b.y = x4 7x2 + x, di titik yang absisnya 0c.y = x3 + 5x2 1 , di titik yang ordinatnya 5d.y = 2x4, di titik yang ordinatnya 18 3. Carilah persamaan garis singgung kurva yang diberikan oleh persamaan berikut di titikyang ditentukan.a.y = (x2 1)2 di (2, 9)c.29yx=+ di (4, 5)b.32yxx=− di (2, 4)d.216yxx=+ di O(0, 0) 4.Garis normal di titik pada kurva adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgungkurva di titik tersebut. Tentukan persamaan garis normal kurva pada soal nomor 3. 5. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 3x2 4x yang sejajar garis 2x y + 3 = 0. 6. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x4 6x yang tegak lurus garis x 2y + 6 = 0. 7. Tentukan persamaan garis singgung kurva 13(7 6)yx−=− yang tegak lurus 48x 7y + 2 = 0. 8. Tentukan persamaan garis normal kurva y = x3 4x yang sejajar garis x + 8y 8 = 0. 9. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (4, 13) dan menyinggung kurva y =2x2 1.10. Garis singgung di A pada y = x2 + 4x 16 sejajar garis 3x y = 2. Tentukan koordinat titik A.11. Diketahui kurva1yx x=+, A adalah titik pada kurva yang absisnya 12. Misalkan garissinggung di A memotong sumbu-x di P dan memotong sumbu-y di Q. Hitunglah panjangruas garis PQ.12. Jika garis singgung pada kurva y2 = 6x di titik P membentuk sudut 45°dengan sumbu-xpositif, tentukan koordinat titik P.Latihan 5.4
Matematika Kelas XI - IPS SMA2281. Turunan fungsi f di bilangan c, dinotasikan dengan'( )fc, didefinisikan sebagai: 0()()'( )limhfc h fcfch→+−= jika limit ini ada.2. Jika fungsi f mempunyai turunan di c, maka f kontinu di c.3. Jika fungsi f(x) = k , dengan k adalah konstanta, maka '( )0fx=.4. Jika n bilangan asli dan ()nfx x=, maka 1'( )nfx nx−=.5. Misalkan u dan v suatu fungsi yang mempunyai turunan.a. Jika k konstanta, dan f(x) = ku(x), maka '( )'( )fx kux=.b. Jika f(x) = u(x) + v(x), maka '( )'( )'( )fx ux vx=+.c. Jika f(x) = u(x)v(x), maka '()'()() ()'()fx uxvx uxvx=+.d. Jika f(x) = u(x)/v(x), maka 2'( )( '( ) ( )( ) '( ))( )fx uxvx uxvx vx=−.6.Aturan Rantai. Jika fungsi v mempunyai turunan di x dan u mempunyai turunan div(x), maka fungsi komposisi uvo mempunyai turunan di x, dan() '( )'( ( )) '( )uv x uvxvx=o7. Garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (, ())cfc adalah garis yang melalui (, ())cfcdengan kemiringan '( )fc.8. Jika y = f(x) adalah suatu besaran yang bergantung pada besaran lain, x, makabesarnya laju perubahan sesaat y terhadap x saat x = c didefinisikan sebagai:0()()lim hfc h fch→+−Rangkuman
229BAB V ~ TurunanKonsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulusdipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Newton danLeibniz dari tahun 1665 sampai dengan tahun 1675sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalahdalam geometri dan mekanika. Sir Isaac Newton (1642 -1727), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris danGottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), ahli matematikabangsa Jerman dikenal sebagai ilmuwan yangmenemukan kembali kalkulus. Kalkulus memberikanbantuan tak ternilai pada perkembangan beberapa cabangilmu pengetahuan lain. Dewasa ini kalkulus digunakansebagai suatu alat bantu yang utama dalam menyelesaikanberbagai permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi.Selanjutnya, suatu fungsi yang mempunyai turunansampai tingkat tertentu dapat dihampiri oleh suatu sukubanyak, yang dikenal sebagai hampiran Taylor.Gambar 5.6Gottfried Wilhelm LeibnizSumber: www.et.fh-koeln.deGambar 5.5Sir Isaac NewtonSumber: www.maths-rometus.orgMath Info
Matematika Kelas XI - IPS SMA230I. PETUNJUKUntuk soal nomor 1 sampai dengan nomor 15, pilihlah satu jawaban yangpaling tepat!1. Jika 32(2)()(1 )xfxx+=−, maka '( 3)f−= ... .A. 0,000024D. 0,024B. 0,00024E. 0,24C. 0,00242. Turunan dari 2(1 ) (2 3)yxx=−+ adalah ... .A.(1 )(3 2)xx−+D.2( 1)(3 2)xx−+B.(1)(32)xx−+E.2(1 )(3 2)xx−+C.2(1 )(3 2)xx++3. Turunan fungsi 234(2 3)yx=− adalah ... .A.4223xx−−D.4232 3x−−B.42323xx−E.4232 3xx−C.421632 3xx−4. Jika 2() 4 6fx x x=−, maka nilai '( 2)f− adalah ... .A. 22D. 1612B. 19E. 13C. 17125. Jika 1f−merupakan invers dari fungsi 2()53xfxx+=−, 53x≠, dan g turunandari 1f−, maka nilai g(1) adalah ... .A. 9/16D. 11/16B. 7/16E. 13/16C. 7/16Uji Kompetensi
231BAB V ~ Turunan6. Persamaan garis singgung di titik dengan x = 2 pada kurva 2751yx=−adalah ... .A. 5x + 2y 28 = 0D.x 2y + 16 = 0B.x + 2y 20 = 0E. 2x y + 5 = 0C. 5x 2y 8 = 07. Turunan pertama dari 221xyx−= adalah ... .A.232xxx+D.2252xxx−B.252xxx−E.32xx−C.2232xxx+8. Pertumbuhan pendapatan suatu perusahaan setelah waktu t tahun diberikanoleh fungsi:3213() 3 5st t t t=−+Laju pertumbuhan pendapatan tertinggi dicapai setelah waktu t = ... tahun.A. 1D. 4B. 2E. 5C. 39. Jika garis menyinggung kurva 3yx= di titik yang berabsis 1, maka garis gakan memotong sumbu-x di titik ... .A. (1, 0)D. (2, 0)B. (1/2, 0)E. ( 3, 0)C. (1, 0)10. Jika 233() 2fx xx⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠, maka '( )...fx= .A.327 68xxxx−−D.427 68xxxx−−B.327 68xxxx−+E.427 68xxxx−+C.427 128xxxx−−
Matematika Kelas XI - IPS SMA23211. Garis singgung di titik (2, 8) pada kurva () 2 2fx x x=+ memotong sumbu-x dan sumbu-y di titik (a, 0) dan (0, b). Nilai dari a + b adalah ... .A. 1110D. 125B. 1115E. 135C. 131012. Fungsi biaya suatu perusahaan mengikuti fungsi 2() 600 72 3Cxx x=−+. Lajuperubahan C terhadap x ... .A. selalu makin tinggiB. selalu makin rendahC. makin tinggi hanya pada x < 12D. makin rendah hanya pada x > 12E. paling tinggi pada x = 2413. Koordinat titik-titik singgung pada kurva 2(23)yx x=− yang garis singgung-nya sejajar garis 2y 24x = 1 adalah ... .A. (1, 5) dan (2, 4)D. (1, 5) dan (2, 4)B. (1, 5) dan (2, 4)E. (1, 5) dan (2, 4)C. (1, 5) dan (2, 4)14. Persamaan garis singgung pada kurva 35yx=+ yang tegak lurus x + 3y = 2adalah ... .A. 3x y + 3 = 0 dan 3x y + 7 = 0B. 3x y 3 = 0 dan 3x y 7 = 0C. 3x y 9 = 0 dan 3x y 1 = 0D. 3x y + 3 = 0 dan 3x y 5 = 0E. 3x y + 9 = 0 dan 3x y + 1 = 015. Garis k menyinggung kurva 34yx x=− di titik (1, 3 ) dan memotong kurvadi titik ... .A. (2, 0)D. (1, 3)B. (1, 0)E. (3, 15)C. (2, 0)II. PETUNJUKUntuk soal nomor 16 sampai dengan nomor 20, kerjakan dengan singkatdan jelas!16. Jika f mempunyai turunan di c, dengan c > 0, hitunglah () ()limxcfx fcxc→−−.17. Hitunglah nilai 'y dari 521yxx⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠.
233BAB V ~ Turunan18. Carilah turunan ketiga dari () (1 )nfx x x=−.19. Suatu kurva mempunyai persamaan y = x2 + ax + b,dengan a dan b konstanta.Garis y = 2x menyinggung kurva tadi di titik dengan absis 3. Tentukan nilaia dan b.20. Rusuk kubus bertambah panjang dengan kelajuan 7 cm/detik. Berapakahkelajuan bertambahnya volume pada saat panjang rusuknya 15 cm?1. Jika p(x) adalah nilai total produksi pada waktu terdapat x pekerja di pabrik,maka rerata produktivitas tenaga kerja di pabrik adalah:()()pxAxx=a. Carilah '( )Ax. Mengapa perusahaan ingin memperkerjakan lebih banyakpekerja apabila '( ) 0Ax>.b. Perlihatkan bahwa '( ) 0Ax> apabila '( )px lebih besar daripada rerataproduktivitas.2. Suatu perusahaan sepatu memperkirakan bahwa fungsi biaya adalah:23( ) 84 1,26 0,01 0,00007Cxx xx=+ −+untuk setiap x pasang sepatu, sedangkan fungsi permintaan adalah:() 3, 50,01pxx=−a. Tentukan fungsi keuntungan dan fungsi keuntungan marginal.b. Tentukan tingkat produkasi yang memaksimumkan keuntungan.Bandingkan dengan Soal Analisis nomor 3 Bab 4.3. Di sebuah peternakan ikan, populasi ikan dimasukkan ke tambak dan dipanensecara teratur. Model laju perubahan populasi ikan diberikan oleh persamaan:()0,0 51( ) ( )10.000dPP tPt Ptdtβ⎛⎞=−−⎜⎟⎝⎠dengan P(t) jumlah populasi ikan setelah t hari, dan β adalah persentasepopulasi yang dipanen.a. Berapa nilai dP dt yang berpadanan terhadap populasi stabil?b. Jika laju pemanenan adalah 4%, carilah tingkat populasi stabil.c. Apa yang terjadi jika β diperbesar menjadi 5%?Soal Analisis
Matematika Kelas XI - IPS SMA234AktivitasNama :
..Tangga l : ...........................Kelas : XIMateri Pokok : TurunanKelompok:
..Semester : 2 (dua)Kegiatan : Survei data populasi penduduk suatu kelurahanTujuan : Menentukan laju perubahan pendudukA Alat dan bahan yang digunakan1. Data populasi penduduk kelurahan2. Komputer3. Alat tulis4. Buku catatanB. Cara kerja1. Buatlah kelompok yang beranggotakan 4 atau 5 siswa.2. Carilah data jumlah penduduk dari kelurahan terdekat dengan tempattinggal Anda, untuk kurun waktu tahun 1993 2007 untuk periode duatahunan. Masing-masing kelompok harus mensurvei kelurahan yangberbeda.3. Catat data jumlah penduduk P(t) untuk setiap tahunnya, dan isikan padatabel di bawah.C. An alisis1. Buatlah grafik dari data yang diperoleh di atas dengan bantuan komputer.2. Untuk setiap tahun t buat tabel () (2003)2003Pt -Pt-.3. Tentukan laju perubahan penduduk pada kelurahan survei Anda padatahun 2003.4. Tafsirkan hasil di atas sebagai pendekatan limit fungsi P(t) di t = 2003.5. Tuliskan hasil di atas dengan notasi turunan.6. Perkirakan jumlah penduduk pada thun 2009 pada kelurahan surveiAnda. Tahun (t) 1993 199 5 1997 1999 2001 2003 200 5 2007 P(t)Aktivitas Proyek